2023年　千葉県公立高校入試　数学　3 (2)

千葉県公立高校入試では証明問題が出題されます。
2023年の大問３（２）は正答率が３％以下という難問だったようです。

当塾でも質問がたくさんありました。
もちろん、それぞれの生徒さんに説明はしていますが、
ここにもまとめておきたいと思います。

問題

解説（解答）

まず、何をするのかを確認しましょう。

下の図を見てください。△ABE（下の図で赤で塗ったもの）と
△ADC（下の図で青で塗ったもの）が相似であることを証明するという問題です。

長さについてはほとんど情報がないので、長さの比ではなく角度で考えるのでしょう。
つまり、二つの角が等しいということを証明すればいいのです。

まず、上の図を見れば一目瞭然ですが、

△ABE（赤）における＜BAEと
△ADC（青）における＜CADは
同じ角ですから角度は等しくなります。

次に＜BDCと＜BECを見てみます。

両者とも点B、点Cを両端としています。
線分BCは円の直径です。
すると、円の直径に対する円周角ですから＜BDCと＜BECは直角（90°）です。

実はこれは大問３の（１）で出てきています。
今回は（１）は省略しました。

次に＜EDBと＜ECBを見てみます。

両者とも孤EBに対する円周角です。
ということは、何度かは分かりませんが、同じ角度ということになります。

以上のことから、上の図のようなことがわかります。

△ADCにおいて、＜ADCは90°＋＜EDBとなります。

この＜EDBというのは＜ECBと等しい角でした。
また、＜BECは90°であることも確認しておきます。

次に△EBCに注目してください。
二つの角がわかっています。

ところで、問題になっている△ABEの中で
＜ABEは△EBCの中の＜Bの外角になっています。

ということは、＜ABEは△EBCの中の＜Eと＜Cを足したものということです。
つまり、＜ABE ＝ 90° ＋　＜ECBということです。

さらに、先ほど考えたように＜ECBは＜EDBと等しかったはずです。

以上のことから、＜ABE ＝ 90° ＋　＜EBC ＝ 90° ＋　＜EDB ＝　＜ADCということがわかります。

すると、△AEBと△ADCにおいて
＜BAE ＝ ＜CAD
＜ABE ＝ ＜ADC
となります。

二つの角が等しいので、二つの三角形は相似であることがわかります。

まとめ

実際の授業では、上記の図をホワイトボードアプリを使って書きながら説明しています。

生徒さんの表情を見てホワイトボードの内容がわかったかどうかを確認して授業を進めます。

個別指導（１対１）だからできることです。

ぜひ一度体験してみてください。