埼玉県公立高校入試問題より　数学

埼玉県公立高校入試問題を見ていきたいと思います。
数学の問題です。

問題

図のように、円周の長さを10等分する点A〜Jがあります。AAEHとABEHをつくり、辺AEと辺BHとの交点をKとするとき、角AKHの大きさいを求めなさい。

考え方と解答

まず、円の中心角と円周角について確認します。
同じ長さの弧に対する円周角は中心角の半分の角度になる、ということは覚えていますか？
これを使いましょう。

まず、円は10等分されています。
この円の中心をOとしましょう。
ということは、すべての点から円の中心に向かって線を引くと中心角が10個できます。
この中心角はすべて36度になります。

ここで、角EAHに注目してください。
これは弧EHに対する円周角です。

ところで、弧EHに対する中心角は36度が３つあるのはわかりますか？
したがって、角EOHは108度になります。
すると、円周角はその半分ですから、角EAHは54度ですね。
ちなみに、同じ弧EHに対する円周角である角EBHも54度とわかります。

次に三角形AKHに注目してください。
角AKH（これが求めるxです）は、180度 – 角KAH – 角KHAとなります。

ところで、角KAHは54度とわかっています。
あとは、角KHAですが、これもわかっていることに気が付いていますか？

角KHAですが、これは弧ABの円周角と同じ角度です。
この演習場にある10個の点は円を10等分したものですから、
隣り合う２つの点からの円周角はすべて同じ角度になるはずです。
円周角は中心角の半分ですから角KHAは18度です。

三角形AKHにおいて角KAHは54度、角KHAは18度です。
すると、角AKH（x）は180 – 54 – 18で角度がでます。
計算すると、108です。

正解は108度でした！

覚えて欲しいこと

円周角と中心角は非常によく使います。

弧があったら、その円周角、中心角がないか常に考えるようにしましょう。
また、円周角は中心角の半分になるということもしっかりと理解しましょう。