2023年 千葉県公立高校入試 数学 3 (2)
千葉県公立高校入試では証明問題が出題されます。
2023年の大問３（２）は正答率が３％以下という難問だったようです。
当塾でも質問がたくさんありました。
もちろん、それぞれの生徒さんに説明はしていますが、
ここにもまとめておきたいと思います。
問題
解説（解答）
まず、何をするのかを確認しましょう。
下の図を見てください。△ABE（下の図で赤で塗ったもの）と
△ADC（下の図で青で塗ったもの）が相似であることを証明するという問題です。
長さについてはほとんど情報がないので、長さの比ではなく角度で考えるのでしょう。
つまり、二つの角が等しいということを証明すればいいのです。
まず、上の図を見れば一目瞭然ですが、
△ABE（赤）における＜BAEと
△ADC（青）における＜CADは
同じ角ですから角度は等しくなります。
証明
＜BAE ＝ ＜CAD ・・・ ①（共通）
次に＜BDCと＜BECを見てみます。
両者とも点B、点Cを両端としています。
線分BCは円の直径です。
すると、円の直径に対する円周角ですから＜BDCと＜BECは直角（90°）です。
実はこれは大問３の（１）で出てきています。
今回は（１）は省略しました。
証明
＜BAE ＝ ＜CAD ・・・ ①（共通）
＜BCDと＜BECは円の直径に対する円周角なので、90° ・・・ ②
次に＜EDBと＜ECBを見てみます。
両者とも孤EBに対する円周角です。
ということは、何度かは分かりませんが、同じ角度ということになります。
証明
＜BAE ＝ ＜CAD ・・・ ①（共通）
＜BCDと＜BECは円の直径に対する円周角なので、90° ・・・ ②
＜EDBと＜ECBは孤EBに対する円周角なので角度は等しい ・・・③
以上のことから、上の図のようなことがわかります。
△ADCにおいて、＜ADCは90°＋＜EDBとなります。
この＜EDBというのは＜ECBと等しい角でした。
また、＜BECは90°であることも確認しておきます。
証明
＜BAE ＝ ＜CAD ・・・ ①（共通）
＜BCDと＜BECは円の直径に対する円周角なので、90° ・・・ ②
＜EDBと＜ECBは孤EBに対する円周角なので角度は等しい ・・・③
②、③より
＜ADC ＝ 90° ＋ ＜EDB ・・・④
次に△EBCに注目してください。
二つの角がわかっています。
ところで、問題になっている△ABEの中で
＜ABEは△EBCの中の＜Bの外角になっています。
ということは、＜ABEは△EBCの中の＜Eと＜Cを足したものということです。
つまり、＜ABE ＝ 90° ＋ ＜ECBということです。
さらに、先ほど考えたように＜ECBは＜EDBと等しかったはずです。
以上のことから、＜ABE ＝ 90° ＋ ＜EBC ＝ 90° ＋ ＜EDB ＝ ＜ADCということがわかります。
すると、△AEBと△ADCにおいて
＜BAE ＝ ＜CAD
＜ABE ＝ ＜ADC
となります。
二つの角が等しいので、二つの三角形は相似であることがわかります。
証明
＜BAE ＝ ＜CAD ・・・ ①（共通）
＜BCDと＜BECは円の直径に対する円周角なので、90° ・・・ ②
＜EDBと＜ECBは孤EBに対する円周角なので角度は等しい ・・・③
②、③より
＜ADC ＝ 90° ＋ ＜EDB
＜ABEは△BECにおける＜EBCの外角であるから、他の二つの角の合計と等しくなる。
よって
＜ABE ＝ ＜BEC ＋ ＜ECB
②、③より
＜ABE ＝ 90° ＋ ＜ECB ＝ 90° ＋ ＜EDB ＝ ＜ADC ・・・ ⑤
以上のことから、△ABEと△ADCは二つの角が等しいので相似である。
まとめ
実際の授業では、上記の図をホワイトボードアプリを使って書きながら説明しています。
生徒さんの表情を見てホワイトボードの内容がわかったかどうかを確認して授業を進めます。
個別指導（１対１）だからできることです。
ぜひ一度体験してみてください。
